Тригонометрическая запись комплексного числа онлайн. Тригонометрическая форма комплексных чисел

3.1. Полярные координаты

На плоскости часто применяется полярная система координат . Она определена, если задана точка O, называемая полюсом , и исходящий из полюса луч (для нас это ось Ox) – полярная ось. Положение точки M фиксируется двумя числами: радиусом (или радиус-вектором) и углом φ между полярной осью и вектором . Угол φ называется полярным углом; измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.

Положение точки в полярной системе координат задается упорядоченной парой чисел (r; φ). У полюса r = 0, а φ не определено. Для всех остальных точек r > 0, а φ определено с точностью до слагаемого кратного 2π. При этом парам чисел (r; φ) и (r 1 ; φ 1) сопоставляется одна и та же точка, если .

Для прямоугольной системы координат xOy декартовы координаты точки легко выражаются через ее полярные координаты следующим образом:

3.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy .

Любому комплексному числу z=(a, b) ставится в соответствие точка плоскости с координатами (x, y ), где координата x = a, т.е. действительной части комплексного числа, а координата y = bi – мнимой части.

Плоскость, точками которой являются комплексные числа – комплексная плоскость.

На рисунке комплексному числу z = (a, b) соответствует точка M(x, y) .

Задание. Изобразите на координатной плоскости комплексные числа:

3.3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число на плоскости имеет координаты точки M (x; y) . При этом:

Запись комплексного числа - тригонометрическая форма комплексного числа.

Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается . Модуль – неотрицательное вещественное число. Для .

Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда z = 0, т.е. a = b = 0 .

Число φ называется аргументом z и обозначается . Аргумент z определен неоднозначно, как и полярный угол в полярной системе координат, а именно с точностью до слагаемого кратного 2π.

Тогда принимаем: , где φ – наименьшее значение аргумента. Очевидно, что

.

При более глубоком изучении темы вводится вспомогательный аргумент φ*, такой, что

Пример 1 . Найти тригонометрическую форму комплексного числа .

Решение. 1) считаем модуль: ;

2) ищем φ: ;

3) тригонометрическая форма:

Пример 2. Найти алгебраическую форму комплексного числа .

Здесь достаточно подставить значения тригонометрических функций и преобразовать выражение:

Пример 3. Найти модуль и аргумент комплексного числа ;

1) ;

2) ; φ – в 4 четверти:

3.4. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме

· Сложение и вычитание удобнее выполнять с комплексными числами в алгебраической форме:

· Умножение – при помощи несложных тригонометрических преобразований можно показать, что при умножении модули чисел перемножаются, а аргументы складываются: ;

Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме

Алгебраической формой комплексного числа z = (a , b ).называется алгебраическое выражение вида

z = a + bi .

Арифметические операции над комплексными числами z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i , записанными в алгебраической форме, осуществляются следующим образом.

1. Сумма (разность) комплексных чисел

z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i ,

т.е. сложение (вычитание) осуществляются по правилу сложения многочленов с приведением подобных членов.

2. Произведение комплексных чисел

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i ,

т.е. умножение производится по обычному правилу умножения многочленов, с учетом того, что i 2 = 1.

3. Деление двух комплексных чисел осуществляется по следующему правилу:

, (z 2 ≠ 0),

т.е. деление осуществляется умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Возведение в степень комплексных чисел определяется следующим образом:

Легко показать, что

Примеры .

1. Найти сумму комплексных чисел z 1 = 2 – i и z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i )+ (–4 + 3i ) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Найти произведение комплексных чисел z 1 = 2 – 3i и z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i ) ∙ (–4 + 5i ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i )+ 2∙5i – 3i∙ 5i = 7+22i.

3. Найти частное z от деления z 1 = 3 – 2на z 2 = 3 – i.

z = .

4. Решить уравнение: , x и y Î R .

(2x + y ) + (x + y )i = 2 + 3i.

В силу равенства комплексных чисел имеем:

откуда x = –1 , y = 4.

5. Вычислить: i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i -1 , i -2 .

6. Вычислить , если .

.

7. Вычислить число обратное числу z =3-i .

Комплексные числа в тригонометрической форме

Комплексной плоскостью называется плоскость с декартовыми координатами (x, y ), если каждой точке с координатами (a, b ) поставлено в соответствие комплексное число z = a + bi . При этом ось абсцисс называется действительной осью , а ось ординат – мнимой . Тогда каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка A (a, b ) или вектор .

Следовательно, положение точки А (и, значит, комплексного числа z ) можно задать длиной вектора | | = r и углом j , образованным вектором | | с положительным направлением действительной оси. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается | z |=r , а угол j называется аргументом комплексного числа и обозначается j = arg z .

Ясно, что | z | ³ 0 и | z | = 0 Û z = 0.

Из рис. 2 видно, что .

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до 2pk, k Î Z .

Из рис. 2 видно также, что если z=a+bi и j=arg z, то

cosj = , sinj = , tgj = .

Если zÎ R и z > 0,то arg z = 0 +2pk ;

если z Î R и z < 0,то arg z = p + 2pk ;

если z = 0, arg z не определен.

Главное значение аргумента определяется на отрезке 0 £ arg z £ 2p,

либо -p £ arg z £ p .

Примеры:

1. Найти модуль комплексных чисел z 1 = 4 – 3i и z 2 = –2–2i.

2. Определить на комплексной плоскости области, задаваемые условиями:

1) | z | = 5; 2) | z | £ 6; 3) | z – (2+i ) | £ 3; 4) 6 £ | z – i | £ 7.

Решения и ответы:

1) | z | = 5 Û Û - уравнение окружности радиусом 5 и с центром в начале координат.

2) Круг радиусом 6 с центром в начале координат.

3) Круг радиусом 3 с центром в точке z 0 = 2 + i .

4) Кольцо, ограниченное окружностями с радиусами 6 и 7 с центром в точке z 0 = i .

3. Найти модуль и аргумент чисел: 1) ; 2) .

1) ; а = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i ; a = –2, b = -2 Þ ,

.

Указание: при определении главного аргумента воспользуйтесь комплексной плоскостью.

Таким образом: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже. Рекомендую закачать и по возможности распечатать тригонометрические таблицы , методический материал можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Без таблиц далеко не уехать.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:

Где – этомодуль комплексного числа , а –аргумент комплексного числа .

Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что:

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря,модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа стандартно обозначают:или

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедливадля любых значений «а» и «бэ».

Примечание : модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа , как расстояния от точки до начала координат.

Аргументом комплексного числа называетсяугол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа:.

Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают:или

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:

. Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Пример 7

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,. Выполним чертёж:

На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа:

Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна ), аргумент – угол

1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме:.

Ясно, как день, обратное проверочное действие:

2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.

Используя , легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и

аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле:

Очевидно, что (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.

Проверка:

4) И четвёртый интересный случай. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:.

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: (270 градусов), и, соответственно:. Проверка:

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов , то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить,

что и– это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид:

Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:

Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций. И комплексные числа усвоятся заметно легче!

В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен...» . Это действительно очевидно и легко решается устно.

Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. C модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число. При этом возможны три варианта (их полезно переписать):

1) Если (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле.

2) Если (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле.

3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле.

Пример 8

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,.

Коль скоро есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено задание представить число в тригонометрической форме, то чертёж лучше в любом случае выполнить . Дело в том, что решение без чертежа часто бракуют преподаватели, отсутствие чертежа – серьёзное основание для минуса и незачета.

Представляем в комплексной форме числа и, первое и третье числа будут для самостоятельного решения.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку (случай 2), то

–вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:– числов тригонометрической форме.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку (случай 1), то(минус 60 градусов).

Таким образом:

–число в тригонометрической форме.

А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем .

Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций , при этом учитываем, что угол – это в точности табличный угол(или 300 градусов):– числов исходной алгебраической форме.

Числа ипредставьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.

В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в показательной форме:

Где – это модуль комплексного числа, а– аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде .

Например, для числа предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент:,. Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом:.

Число в показательной форме будет выглядеть так:

Число – так:

Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме .

Рассмотрим комплексное число, заданной в обычной (алгебраической) форме:

На Рис.3 изображено комплексное число z . Координаты этого числа в декартовой системе координат (a, b ). Из определения функций sin и cos любого угла, следует:

Эта форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Уравнения (2) возведем в квадрат и сложим:

.

(4)

r −длина радиус-вектора комплексного числа z называется модулем комплексного числа и обозначается |z |. Очевидно |z |≥0, причем |z |=0 тогда и только тогда, когда z =0.

Величина полярного угла точки, соответвующей комплексному числу z , т.е. угла φ , называется аргументом этого числа и обозначается arg z . Заметим, что arg z имеет смысл лишь при z ≠0. Аргумент комплексного числа 0 не имеет смысла.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно. Если φ аргумент комплексного числа, то φ +2πk , k =0,1,... также является аргументом комплексного числа, т.к. cos(φ +2πk )=cosφ , sin(φ +2πk )=sinφ .

Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую

Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: z =a+bi . Представим это число в тригонометрической форме. Вычисляем модуль комплексного числа: . Вычисляем аргумент φ комплексного числа из выражений или . Полученные значения вставляем в уравнение (3).

Пример 1. Представить комплексное число z =1 в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z =1 можно представить так: z =1+0i φ =1/1. Откуда имеем φ =0. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: z =1(cos0+i sin0).

Ответ. z =1(cos0+i sin0).

Пример 2. Представить комплексное число z=i в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=i можно представить так: z =0+1i . Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ =0/1. Откуда имеем φ =π /2. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ. .

Пример 3. Представить комплексное число z =4+3i в тригонометрической форме.

Решение. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ =4/5. Откуда имеем φ =arccos(4/5). Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .

Ответ. , где φ =arccos(4/5).

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи

z 1 =r 1 (cosφ 1 +i  sinφ 1) и z 2 =r 2 (cosφ 2 +i  sinφ 2). Перемножим эти числа:

т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей .

Ответ. .

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Пусть заданы комплексные числа z 1 =r 1 (cosφ 1 +i  sinφ 1) и z 2 =r 2 (cosφ 2 +i  sinφ 2) и пусть z 2 ≠0, т.е. r 2 ≠0. Вычислим z 1 /z 2:

Ответ. .

Геометрический смысл умножения и деления

На рисунке Рис.4 представлено умножение комплексных чисел z 1 и z 2 . Из (6) и (7) следует, что для получения произведения z 1 z 2 , нужно вектор-радиус точки z 1 повернуть против часовой стрелки на угол φ 2 и растянуть в |z 2 | раз (при 0z 2 |

Рассмотрим, теперь, деление комплексного числа z 1 z 2 на z 1 (Рис.4). Из формулы (8) следует, что модуль искомого числа равен частному от деления модуля числа z 1 z 2 на модуль числа z 1 , а аргумент равен: φ 2 =φ −φ 1 . В результате деления получим число z 2 .