Равномерное движение по окружности. Равномерное движение точки по окружности Точечное тело начинает двигаться по окружности

Равномерное движение по окружности – это простейший пример . Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость .

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v = const, а изменяется только направление вектора скорости в этом случае отсутствует (a r = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение () a n или а ЦС. В каждой точке вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.

Модуль центростремительного ускорения равен

a ЦС =v 2 / R

Где v – линейная скорость, R – радиус окружности

Рис. 1.22. Движение тела по окружности.

Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус, проведённый из центра окружности до точки, в которой в этот момент находится движущееся тело. Угол поворота измеряется в радианах. равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу окружности (рис. 1.23). То есть если l = R, то

1 радиан= l / R

Так как длина окружности равна

l = 2πR

360 о = 2πR / R = 2π рад.

Следовательно

1 рад. = 57,2958 о = 57 о 18’

Угловая скорость равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:

ω = φ / t

Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]. Модуль линейной скорости определяется отношением длины пройденного пути l к промежутку времени t:

v= l / t

Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности. При движении точки длина l дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением

l = Rφ

где R – радиус окружности.

Тогда в случае равномерного движения точки линейная и угловая скорости связаны соотношением:

v = l / t = Rφ / t = Rω или v = Rω

Рис. 1.23. Радиан.

Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности.Частота обращения – это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.

n = 1 / T

За один период угол поворота φ точки равен 2π рад, поэтому 2π = ωT, откуда

T = 2π / ω

То есть угловая скорость равна

ω = 2π / T = 2πn

Центростремительное ускорение можно выразить через период Т и частоту обращения n:

a ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

• Характерные особенности этого движения содержатся в его названии: равномерное - значит с постоянной по модулю скоростью (и = const), no окружности - значит траектория - окружность.

Равномерное движение по окружности

До сих пор мы изучали движения с постоянным ускорением. Однако чаще встречаются случаи, когда ускорение изменяется.

Вначале мы рассмотрим простейшее движение с переменным ускорением, когда модуль ускорения не меняется. Таким движением, в частности, является равномерное движение точки по окружности: за любые равные промежутки времени точка проходит дуги одинаковой длины. При этом скорость тела (точки) не изменяется по модулю, а меняется лишь по направлению.

Среднее ускорение

Пусть точка в момент времени t занимает на окружности положение А, а через малый интервал времени Δt - положение А 1 (рис. 1.82, а). Обозначим скорость точки в этих положениях через и 1 . При равномерном движении v 1 = v.

Рис. 1.82

Для нахождения мгновенного ускорения сначала найдем среднее ускорение точки. Изменение скорости за время Δt равно Δ и = 1 - (см. рис. 1.82, а).

По определению среднее ускорение равно

Центростремительное ускорение

Задачу нахождения мгновенного ускорения разобьем на две части: сначала найдем модуль ускорения, а потом его направление. За время Δt точка А совершит перемещение = Δ.

Рассмотрим треугольники ОАА 1 и А 1 СВ (см. рис. 1.82, а). Углы при вершинах этих равнобедренных треугольников равны, так как соответствующие стороны перпендикулярны. Поэтому треугольники подобны. Следовательно,

Разделив обе части равенства на Δt, перейдем к пределу при стремлении интервала времени Δt -» 0:

Предел в левой части равенства есть модуль мгновенного ускорения, а предел в правой части равенства представляет собой модуль мгновенной скорости точки. Поэтому равенство (1.26.1) примет вид:

Очевидно, что модуль ускорения при равномерном движении точки по окружности есть постоянная величина, так как v и г не изменяются при движении.

Направление ускорения

Найдем направление ускорения . Из треугольника A 1 CB следует, что вектор среднего ускорения составляет с вектором скорости угол β = . Но при Δt -> О точка А 1 бесконечно близко подходит к точке А и угол α -» 0. Следовательно, вектор мгновенного ускорения составляет с вектором скорости угол

Значит, вектор мгновенного ускорения а направлен к центру окружности (рис. 1.82, б). Поэтому это ускорение называется центростремительным (или нормальным 1).

Центростремительное ускорение на карусели и в ускорителе элементарных частиц

Оценим ускорение человека на карусели. Скорость кресла, в котором сидит человек, составляет 3-5 м/с. При радиусе карусели порядка 5 м центростремительное ускорение а = ≈ 2-5 м/с 2 . Это значение довольно близко к ускорению свободного падения 9,8 м/с 2 .

А вот в ускорителях элементарных частиц скорость оказывается довольно близкой к скорости света 3 10 8 м/с. Частицы движутся по круговой орбите радиусом в сотни метров. При этом центростремительное ускорение достигает огромных значений: 10 14 -10 15 м/с 2 . Это в 10 13 -10 14 раз превышает ускорение свободного падения.

Равномерно движущаяся по окружности точка имеет постоянное по модулю ускорение а = , направленное по радиусу к центру окружности (перпендикулярно скорости). Поэтому это ускорение называется центростремительным или нормальным. Ускорение а при движении непрерывно изменяется по направлению (си. рис. 1.82, б). Значит, равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением.

1 От латинского слова normalis - прямой. Нормаль к кривой линии в данной точке - прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной, проведенной через ту же точку.

1. Достаточно часто можно наблюдать такое движение тела, при котором его траекторией является окружность. По окружности движется, например, точка обода колеса при его вращении, точки вращающихся деталей станков, конец стрелки часов, ребенок, сидящий на какой‑либо фигуре вращающихся каруселей.

При движении по окружности может изменяться не только направление скорости тела, но и ее модуль. Возможно движение, при котором изменяется только направление скорости, а ее модуль остается постоянным. Такое движение называют равномерным движением тела по окружности . Введем характеристики этого движения.

2. Движение тела по окружности повторяется через определенные промежутки времени, равные периоду обращения.

Периодом обращения называют время, в течение которого тело совершает один полный оборот.

Период обращения обозначают буквой T . За единицу периода обращения в СИ принята секунда (1 с ).

Если за время t тело совершило N полных оборотов, то период обращения равен:

T = .

Частотой обращения называют число полных оборотов тела за одну секунду.

Частоту обращения обозначают буквой n .

n = .

За единицу частоты обращения в СИ принята секунда в минус первой степени (1 с– 1 ).

Частота и период обращения связаны следующим образом:

3. Рассмотрим величину, характеризующую положение тела на окружности. Пусть в начальный момент времени тело находилось в точке A , а за время t оно переместилось в точку B (рис. 38).

Проведем радиус‑вектор из центра окружности в точку A и радиус‑вектор из центра окружности в точку B . При движении тела по окружности радиус‑вектор повернется за время t на угол j. Зная угол поворота радиуса‑вектора, можно определить положение тела на окружности.

Единица угла поворота радиуса‑вектора в СИ - радиан (1 рад ).

При одном и том же угле поворота радиуса‑вектора точки A и B , находящиеся на разных расстояниях от его центра равномерно вращающегося диска (рис. 39), пройдут разные пути.

4. При движении тела по окружности мгновенную скорость называют линейной скоростью .

Линейная скорость тела, равномерно движущегося по окружности, оставаясь постоянной по модулю, меняется по направлению и в любой точке направлена по касательной к траектории.

Модуль линейной скорости можно определить по формуле:

v = .

Пусть тело, двигаясь по окружности радиусом R , совершило один полный оборот, Тогда пройденный им путь равен длине окружности: l = 2pR , а время равно периоду обращения T . Следовательно, линейная скорость тела:

Поскольку T = , то можно записать

v = 2pRn .

Быстроту обращения тела характеризуют угловой скоростью .

Угловой скоростью называют физическую величину, равную отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел.

Угловая скорость обозначается буквой w.

За единицу угловой скорости в СИ принимают радиан в секунду (1 рад/с ):

[w] == 1 рад/с.

За время, равное периоду обращения T , тело совершает полный оборот и угол поворота радиуса-вектора j = 2p. Поэтому угловая скорость тела:

w =или w = 2pn .

Линейная и угловая скорости связаны друг с другом. Запишем отношение линейной скорости к угловой:

== R .

Таким образом,

При одинаковой угловой скорости точек A и B , расположенных на равномерно вращающемся диске (см. рис. 39), линейная скорость точки A больше линейной скорости точки B : v A > v B .

5. При равномерном движении тела по окружности модуль его линейной скорости остается постоянным, а направление скорости меняется. Поскольку скорость - величина векторная, то изменение направления скорости означает, что тело движется по окружности с ускорением.

Выясним, как направлено и чему равно это ускорение.

Напомним, что ускорение тела определяется по формуле:

a == ,

где Dv - вектор изменения скорости тела.

Направление вектора ускорения a совпадает с направлением вектора Dv .

Пусть тело, движущееся по окружности радиусом R , за ма-лый промежуток времени t переместилось из точки A в точку B (рис. 40). Чтобы найти изменение скорости тела Dv , в точку A перенесем параллельно самому себе вектор v и вычтем из него v 0 , что равноценно сложению вектора v с вектором –v 0 . Вектор, направленный от v 0 к v , и есть вектор Dv .

Рассмотрим треугольники AOB и ACD . Оба они равнобедренные (AO = OB и AC = AD, поскольку v 0 = v ) и имеют равные углы: _AOB = _CAD (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами: AO B v 0 , OB B v ). Следовательно, эти треугольники подобны и можно записать отношение соответствующих сторон:= .

Поскольку точки A и B расположены близко друг к другу, то хорда AB мала и ее можно заменить дугой. Длина дуги- путь, пройденный телом за время t с постоянной скоростью v : AB = vt .

Кроме того, AO = R , DC = Dv , AD = v . Следовательно,

= ;= ;= a .

Откуда ускорение тела

Из рисунка 40 видно, что чем меньше хорда AB , тем точнее направление вектора Dv совпадает с радиусом окружности. Следовательно, вектор изменения скорости Dv и вектор ускорения a направлены по радиусу к центру окружности. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называют центростремительным .

Таким образом,

при равномерном движении тела по окружности его ускорение постоянно по модулю и в любой точке направлено по радиусу окружности к ее центру.

Учитывая, что v = wR , можно записать другую формулу центростремительного ускорения:

6. Пример решения задачи

Частота обращения карусели 0,05 с– 1 . Человек, вращающийся на карусели, находится на расстоянии 4 м от оси вращения. Определите центростремительное ускорение человека, период обращения и угловую скорость карусели.

a = 4 (3,14) 2 (0,05с– 1) 2 4 м 0,4 м/с 2 ;

T == 20 с;

w = 2 3,14 0,05 с– 1 0,3 рад/с.

Ответ: a 0,4 м/с 2 ; T = 20 с; w 0,3 рад/с.

Вопросы для самопроверки

1. Какое движение называют равномерным движением по окружности?

2. Что называют периодом обращения?

3. Что называют частотой обращения? Как связаны между собой период и частота обращения?

4. Что называют линейной скоростью? Как она направлена?

5. Что называют угловой скоростью? Что является единицей угловой скорости?

6. Как связаны угловая и линейная скорости движения тела?

7. Как направлено центростремительное ускорение? По какой формуле оно рассчитывается?

Задание 9

1. Чему равна линейная скорость точки обода колеса, если радиус колеса 30 см и один оборот она совершает за 2 с? Чему равна угловая скорость колеса?

2. Скорость автомобиля 72 км/ч. Каковы угловая скорость, частота и период обращения колеса автомобиля, если диаметр колеса70 см? Сколько оборотов совершит колесо за 10 мин?

3. Чему равен путь, пройденный концом минутной стрелки будильника за 10 мин, если ее длина 2,4 см?

4. Каково центростремительное ускорение точки обода колеса автомобиля, если диаметр колеса 70 см? Скорость автомобиля 54 км/ч.

5. Точка обода колеса велосипеда совершает один оборот за 2 с. Радиус колеса 35 см. Чему равно центростремительное ускорение точки обода колеса?

Задача по физике - 3470

2017-05-21
Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса $r = 10 см$ с постоянным касательным ускорением $a_{ \tau} = 0,4 см/с^{2}$. Через какой промежуток времени вектор ускорения а образует с вектором скорости $\vec{v}$ угол $\beta$, равный: а) $60^{ \circ}$; б) $80^{ \circ}$ (рис.)? Какой путь пройдет за это время движущаяся точка? На какой угол повернется радиус-вектор, проведенный из центра окружности к движущейся точке, если в начальный момент времени он направлен вертикально вверх? Движение происходит по часовой стрелке.

Решение:

Материальная точка движется по окружности заданного радиуса. Поскольку движение ускоренное, скорость $v$ движущейся точки, а следовательно, и нормальное ускорение $a_{n} = v^{2}/r$ непрерывно возрастают со временем. Касательное ускорение, по условию задачи, постоянно. Следовательно, вектор полного ускорения а со временем изменяется как по модулю, так и по направлению.

Угол $\beta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{v}$ зависит от соотношения между нормальным $a_{n}$ и касательным $a_{ \tau}$ ускорениями:

$tg \beta = a_{n} / a_{ \tau} = v^{2}/(ra_{ \tau})$. (1)

Постоянство касательного ускорения позволяет найти закон изменения со временем пути $s$, пройденного точкой, или угла поворота $\phi$ радиус-вектора (см. рис.).

Касательное ускорение

$a_{ \tau} = dv/dt = const$.

Следовательно, мгновенная скорость движущейся точки (при $v_{0} = 0$)

$v = a_{ \tau} t$.

Подставляя это выражение в формулу (1), находим

$tg \beta = (a_{ \tau} t)^{2} / (a_{ \tau} t) = a_{ \tau}t^{2}/r$.

Тогда время и путь соответственно равны:

$t = \sqrt{ \frac{r tg \beta}{ a_{ \tau}}}$, (2)
$s = \int_{0}^{t} vdt = \int_{0}^{t} a_{ \tau} t dt = \frac{a_{ \tau}t^{2}}{2}$. (3)

Угол поворота $\phi = s/r$ изменяется со временем также по квадратичному закону:

$\phi = a_{ \tau} t^{2} /(2r)$. (4)

а) При $\beta_{1} = 60^{ \circ}$ ($tg \beta_{1} = 1,73$), согласно выражениям (2) - (4), $t_{1} = 6,6 с; s_{1} = 8,7 см; \phi_{1} = 0,87 рад$.
б) При $\beta_{2} = 80^{ \circ}$ ($tg \beta_{2} = 5,7$), согласно выражениям (2) - (4), $t_{2} = 12 с; s_{2} = 28 см; \phi_{2} = 2,8 рад$.

Положения движущейся точки для найденных углов $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ и векторы $\vec{v}$ и $\vec{a}$ в эти моменты времени показаны на рис.